Применение полиномов Лагранжа

Применение полиномов Лагранжа в задачах контроля состояния навигационного поля.

lagran
Рассматриваются вопросы контроля навигационного поля в условиях преднамеренного воздействия на точностные характеристики космических навигационных систем. Задача решается путём сравнения текущих результатов измерения параметров движения с расчётными значениями, полученными экстраполированием некоторого участка траектории, где измерения можно считать достоверными.

(Гладков И.А., Кукушкин С.С.)

В навигационной аппаратуре потребителя осуществляется приём сигналов НКА и дополнений, измерение временных задержек по кодам и фазам несущих и их приращений, определение на этой основе псевдодальностей и псевдоскоростей, ввод необходимых поправок, расчёт координат, времени, составляющих скоростей и скорости ухода местной шкалы времени, а также характеристик точности навигационных определений.

Указанные задачи должны быть дополнены задачами, обеспечивающими контроль достоверности определения параметров потребителей. В ГЛОНАСС контроль целостности радионавигационного поля осуществляется посредством:
— непрерывного автономного самоконтроля работы основных бортовых подсистем НКА, влияющих на качество излучаемых радиосигналов;
— внешнего контроля сигналов НКА с помощью аппаратуры контроля навигационного поля, входящей в состав наземного комплекса управления (НКУ) навигационными КА.

  • В первом случае формируется признак исправности Bn . Его нулевое значение соответствует состоянию «исправен». Этот признак передаётся в составе оперативной (эфемеридной) информации с дискретностью 30 с. При этом, максимальная задержка от момента обнаружения неисправности до передачи признака «1» не превышает 1 мин.
  • Во втором случае формируется совокупность обобщённых признаков Cn ,   n=1,…, 24, характеризующих состояние всех НКА системы на момент закладки неоперативной информации (альманаха орбит и фаз). При этом признак  Cn=0 соответствует непригодности для использования n-го спутника. Cn=1 указывает на его пригодность.

Дискретность передачи признаков в навигационных сообщениях  Cn составляет 2.5 мин.     Эти признаки появляются в составе альманаха не позднее, чем через 16 часов после появления неисправности. Пригодность использования для навигационных определений сигнала конкретного  n-го НКА имеет место только в случае одновременного выполнения условий   Bn=0  и    Cn=1, которое проверяется в навигационной аппаратуре потребителя. Указанная процедура контроля должна быть дополнена контролем целостности системы, позволяющим обнаруживать несанкционированное воздействие на точностные характеристики КНС.

Априори сделаем предположение, что в результате преднамеренного воздействия точностные характеристики будут искажены незначительно, чтобы не быть легко обнаруженными, как аномальные измерения. Вместе с тем, величина этих искажений должна быть достаточной для того, чтобы высокоточное оружие отклонилось от цели, и боевая задача была бы сорвана. Это накладывает достаточно жёсткие требования на чувствительность  и точность алгоритмов обнаружения несанкционированного воздействия.

Задача заключается в следующем.

  1. Обнаружить момент несанкционированного воздействия
  2. По возможности, определить величину искажения навигационных параметров, влияющих на точность определения местоположения движущихся объектов.

Контроль осуществляется следующим образом. Производится сравнение текущих результатов измерения параметров движения   с расчетными значениями, полученными экстраполированием некоторого участка траектории, где измерения можно считать достоверными.

В результате аппроксимации некоторого массива достоверных измерений

lagr01     (1)

полученного на интервале t0 ÷ tа получаем значения коэффициентов аппроксимирующих полиномов. Затем в аппроксимирующий полином подставляем значения полученных коэффициентов и значение времени равное   lagr02, где lagr03  — шаг экстраполяции.

Т.е. производим восстановление функции по аппроксимирующему полиному с экстраполяцией. Для этого необходимо  подобрать функцию наиболее точно передающую физический процесс, т.е. траекторию движения, чтобы получить данные наиболее приближенные к реальности. В  общем  случае для функции y = f(x) требуется найти приближение y = j (x) таким образом, чтобы f (xi) = j (xi) в точках x = xi, a в остальных точках отрезка [a, b] значения функций f(x) и j(x) были близкими между собой. Основная цель интерполяции получить быстрый (экономичный) алгоритм вычисления значений  f(x) для значений  x, не содержащихся в таблице данных. Основной вопрос: как выбрать интерполянту f(x) и как оценить погрешность
y(x) — f(x)
В большинстве случаев интерполирующие функции f(x), как правило, строятся в виде линейных комбинаций некоторых элементарных функций:

lagr04

где {Φk(x)} – фиксированные линейно независимые функции, а c0, c1, … , cn – неопределенные коэффициенты. Более удобной является система полиномов степени n, называемая базисом Лагранжа lagr06, или коэффициентов Лагранжа, определенная из соображений: каждый lagr07 – полином n-ой степени, равный нулю во всех узлах сеткиlagr28, кроме k-го, где он равен 1:

lagrange      nav3

Не трудно видеть, что полином navlkx степени n

nav4

удовлетворяет этим условиям. Полином navlkx определяется единственным образом. В самом деле, если предположить что существует еще один полином navlkx- , тогда их разность – тоже полином степени n, обращающийся в нуль в n + 1 точках xi (i =0,1,…,n). Это возможно только при lagr08.

Полином nav2-8 принимает значение yk в точке xk и равен нулю во всех остальных узлах xj при j k. Тогда

nav5     (3)

представляет собой полином степени не выше n и nav51, т.е. является  интерполяционным полиномом. Формулу (3) называют интерполяционной формулой Лагранжа, а соответствующий полином nav52 – интерполяционным полиномом Лагранжа.

Для оценки близости полинома nav52 к функции f(x) предполагают, что существует n + 1-я непрерывная производная f (n +1)(x). Тогда имеет место формула для погрешности:

navpogr

При помощи разделенных разностей можно получить другую форму записи интерполяционного многочлена в виде интерполяционного полинома Ньютона. Такая запись является наиболее удобной для практических вычислений.

Если  y(x) = nav52 – полином степени n, то для него первая разделенная разность nav54 есть полином степени n – 1, вторая разность nav55 – полином степени n – 2 и т.д., так что (n + 1)-я разделенная разность равна нулю. Из определения разделенных разностей следует:
lagr091
и т.д. Отсюда получим для P(x) формулу:
lagr092
Если P(x) – интерполяционный полином для функции y(x), то его значения в узлах сеток совпадают со значениями функции y(x), а значит, совпадают и разделенные разности, поэтому вместо предыдущей формулы можно написать:

nav59   (4)

Формула (4) представляет собой форму записи интерполяционного многочлена в виде интерполяционного многочлена Ньютона (полином Ньютона). После того как вычислены разделенные разности, вычислять полином Ньютона удобно по схеме Горнера: nav60
Вычисление f(x) для каждого x требует n умножений и 2n сложений или вычитаний. На основе коэффициентов аппроксимирующего полинома определённых  на участке, где измерения можно считать достоверными, необходимо построить экстраполирующую функцию и разработать алгоритм экстраполяции. Процесс экстраполяции предполагает наличие некоторой инвариантности свойств контролируемой функции, которые в известной степени сохраняются на интервале экстраполяции. За счет процедуры экстраполяции, которая распространяется не только на аппроксимирующую прямую, но и на саму контролируемую функцию, алгоритм предусматривает принятие решения о выборе существенной ординаты с опережением на время, равное интервалу квантования за вычетом времени обработки сигнала по принятому алгоритму.

Для оценки погрешности введем понятие остаточного члена интерполяции
RN(t) = f(t) – LN(t)
Положим, что функция f(t) имеет на отрезке [a, b] — N + 1 ограниченную производную. Рассмотрим функцию
nav61
имеющую, по крайней мере, N + 1 производную. По условию, эту производную имеет f(x), а два остальных члена — полиномы.  Кроме того, nav62 на [a, b] имеет, по крайней мере, N + 2 нуля. Их можно указать. Точки  x = tn (n = 0, …, N) — нули, поскольку f(tn) = L(tn), а последнее слагаемое обращается в них в нуль. N + 2 нулем является точка x = t в силу определения остаточного члена.

Далее, поскольку между каждыми двумя нулями непрерывно дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль ее производной, на [a, b] имеется хотя бы N + 1 нуль  ψ’ . Применяя это рассуждение к ψ», ψ»’,  …  можно показать, что существует точка nav63 такая, что  ψ(N+1)(ξ)=0 . Вычислим N + 1 производную правой части выражения для f(x) с учетом того, что L(N + 1) = 0. Кроме того, в точке ξ

lagr11

Тогда
nav65
откуда получим выражение для  RN(t):
nav66
Отсюда можно определить точность интерполяции на равномерной сетке.

Положим, что
nav67
сетка равномерная.
Пусть
nav68
Тогда
nav69
откуда
nav70

Можно показать, что
nav71
Остаточный член оценивается следующим образом:
nav72
поэтому с учетом приведенных оценок получим
nav73

Рассмотрим, как ведет себя оценка в задаче экстраполяции при удалении точки t от интервала [t0, tN]. При nav74 имеем
nav75
поскольку
nav76
При
nav77

nav78

так как
nav79

То при  nav80

nav81
и так далее.

Таким образом можно вычислить интервал, на котором ошибка экстраполяции не превышает заданных значений. Выбор решающего правила необходимо сделать таким образом, чтобы с одной стороны уменьшить вероятность вовлечения в обработку аномальных измерений, с другой стороны сохранить достоверную информацию. Для случая многомерного нормального закона распределения вероятность расположения точки вне объема, определяемого заданными пределами  α1, α2,…n,  вычисляется через эквивалентный радиус гиперсферы
lagr12
как m – кратный интеграл вида:

lagr13     (5)

При построении решающего правила воспользуемся байесовским критерием минимального среднего риска [29]. Согласно этому критерию необходима проверка неравенства:

lagr14     (6)

где сmk – стоимость принятия правильного решения о наличии гипотезы типа к;
сkl  - стоимость ошибочного принятия решения о наличии гипотезы типа к;
pm=p(μm) —  априорная вероятность появления каждой гипотезы.

Если в результате измерений получен случайный вектор x, то при выполнении неравенства (6) принимается решение о справедливости гипотезы  к, т.е. в этом случае мы имеем дело с достоверной информацией. Если неравенство не выполняется, то это свидетельствует о наличии аномальных, т.е. имеющих искажения, измерений. В случае, если потери  (стоимость) правильного решения равны 0, т. е. скк=cll=0, и стоимость неверного решения во всех случаях одинакова, то неравенство (6) упрощается:

lagr15     (7)

После сокращения имеем:

lagr16     (8)

Т.к. lagr17 всегда положительно и неравно нулю, то отношение

lagr18     (9)

при всех lagr19.  Для удобства вычислений прологарифмируем (9)

lagr20     (10)

В частном случае, когда можно считать, что вероятность появления достоверного и ошибочного сигнала одинакова, получаем окончательное правило принятия решений.

lagr21     (11)

Подставив в (11) выражение для плотности вероятности

lagr22     (12)

Получим

lagr23     (13)

Дальнейшие преобразования приводят к следующему выражению:

lagr24     (14)

Если измерения равноточны и корреляционными связями можно пренебречь, то формула (14) упрощается.

lagr25     (15)

Если вектор x задан не в абсолютных значениях, а в отклонениях расчетной точки, то получаем окончательную формулу

lagr26     (16)

При обнаружении аномального отклонения совместная обработка информации с измерениями, полученными ранее невозможна, т.к. в этом случае нарушается основное положение о том, что ошибка начальной привязки постоянная на интервале измерений. При повторении этой ситуации в течение некоторого заранее заданного промежутка времени начальный момент времени фиксируется, и он считается моментом обнаружения несанкционированного воздействия. Если есть предположения, что искажения могут быть кратными периоду мерной частоты, то возможен следующий алгоритм коррекции измерений.  Для исправления ошибки, кратной периоду измеряемой частоты в информацию вносится поправка
lagr27
и по исправленному значению производится проверка информации на достоверность по изложенной выше методике. Если такое исправление невозможно, то  в обработку берется только информация, полученная до обнаружения аномального отклонения.

Литература

  1. Панарин И. Система информационного противоборства // Военно-промышленный курьер. – 15.10.2008. – № 41.
  2. Гареев М. Проблемы и решения // Там же. – 22.10.2008. – № 42; – 29.10.2008. – № 43.
  3. Куршев  М.А. Рассмотрение понятия риска // Проблемы безопасности и чрезвычайных ситуаций. – 2007. – № 3. – С. 97-102.
  4. Махутов Н.А., Гордон М.Б. Информационная безопасность критически важных объектов информатизации // Проблемы безопасности и чрезвычайных ситуаций. – 2006, № 6. – С. 80-89.
  5. Колганов С., Лазаревич Э. Путь к кристаллу // Воздушно-космическая оборона. – 2008, № 6. – С. 66-73.
  6. Распоряжение Правительства РФ от 17 ноября 2008 г. № 1663-р «Основные направления деятельности Правительства Российской Федерации на период до 2012 года».
  7. Пересада В.П. Автоматическое распознавание образов. Л. «Энергия»,1970.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>